Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2），記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n。
（Ⅰ）證明{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）設(shè)P_n=S_n+T_n，若對(duì)于任意n∈N*，都有成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)閿?shù)列{a_n}的前，n項(xiàng)和S=3ⁿ-1，
所以a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1） =2·3^n-1（n≥2），
因?yàn)閚=1時(shí)，a₁=S₁=2也適合上式，
所以a_n=2·3^n-1（n∈N*），
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120331/201203311507343971322.gif">，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng) n≥2時(shí)，b_n=3b_n-1+2-3^3n-1，
將其變形為，
即
所以數(shù)列，是首項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列，
所以
所以b_n= （2n-1）·3^n-1（n∈N*），
因?yàn)門_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）. 3^n-1，
所以3T_n=1×3¹+3×3²+5×3³+…+（2n-1）·3ⁿ，
兩式相減得2T_n=-1-2（3¹+3²+…+3^n-1）+ （2n-1）·3ⁿ，
整理得T_n=（n-1）·3ⁿ+1（n∈N*）；
（Ⅲ）由P_n=S_n+T_n=n·3ⁿ，得
于是
化為（*）
①當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，（*）式可化為，
顯然，大于0，且隨著正奇數(shù)n的增大而減小，
由于（*）式對(duì)任意正奇數(shù)n恒成立，
所以，
②當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，（*）式可化為，
顯然隨著正偶數(shù)n的增大而減小，
由于（*）式對(duì)任意正偶數(shù)n恒成立，
所以，
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是。