Question

【題目】設(shè)函數(shù) ，.

(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

(2)求函數(shù)在上的最小值(為自然對數(shù)的底數(shù))；

(3)是否存在實數(shù)，使得對任意正實數(shù)均成立？若存在，求出所有滿足條件的實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析（3）當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意

【解析】

(1)由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求得，，即可求得切線的方程；

(2)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求解函數(shù)的最值。

(3)由題意，令，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可作出求解。

(1)因為函數(shù)，且，

所以，

所以

所以，

所以曲線在處的切線方程是，即

(2)因為函數(shù)，所以

1°當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在上的最小值是

2°當(dāng)時，令，即，所以

令，即，所以

（i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)

遞增，所以在上的最小值是

（iii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值是

綜上所述，當(dāng)時，在上的最小值是

當(dāng)時，在上的最小值是

當(dāng)時，在上的最小值是.

(3)令，

則，且

若，即，得.

若時，，

令，則，則在上是增函數(shù)，

而，則有

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，有極小值，也是最小值，則有

成立

當(dāng)時，，（），

則，

所以在內(nèi)存在，使，即當(dāng)時，有，

則在是減函數(shù)，則有，即這與不符，

則不成立；

當(dāng)時，

，

則在是增函數(shù)，則有，即這與不符；

當(dāng)時，則，則有

，這與不符合.

綻上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，在定義域上恒成立.