Question

已知{a_n}是首項a₁=2且公比q≠1的等比數(shù)列，a₁，2a₂，3a₃依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式

Sn-1

Sn+1-1

＞λ對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出公比利用已知等差關(guān)系，以及等比數(shù)列通項公式，求出公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求出

Sn-1

Sn+1-1

的最小值，即可求實數(shù)λ的范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 由題，設(shè){a_n}的公比為q，則a_n=2q^n-1，
由a₁，2a₂，3a₃依次成等差數(shù)列，所以4a₂=2+3a₃．           …（2分）
即8q=2+6q²，解得q=1或q=

1

3

又q≠1，故q=

1

3

                …（4分）
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

2

3n-1

．                       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=

2

3n-1

，所以S_n=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3（1-

1

3n

）        …（8分）
則

Sn-1

Sn+1-1

=

2- 1 3n-1

2- 1 3n

=

2×3n-1-3

2×3n-1

=1-

2

2×3n-1

，
∵2×3ⁿ-1≥5，∴1-

2

2×3n-1

∈[

3

5

，1)…（11分）
由

Sn-1

Sn+1-1

＞λ恒成立，得λ＜

3

5

．                       …（13分）

點評：本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和以及函數(shù)恒成立關(guān)系，考查計算能力、轉(zhuǎn)化思想．