Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是右準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，若PF₁⊥PF₂，P到x軸的距離為

2ab

c

（c為半焦距長(zhǎng)），則雙曲線(xiàn)的離心率e=（　�。�

• A．

  2

• B．2
• C．

  3

• D．3

Answer 1

分析：設(shè)右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A，根據(jù)PF₁⊥PF₂，利用射影定理可得|PA|²=|AF₁|×|AF₂|，利用P到x軸的距離為

2ab

c

可建立方程，從而求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答：解：∵P是右準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，P到x軸的距離為

2ab

c

∴可設(shè)P(

a2

c

，

2ab

c

)
設(shè)右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PA|²=|AF₁|×|AF₂|
∴(

2ab

c

)2=(c+

a2

c

)(c-

a2

c

)
∴4a²b²=（c²-a²）（c²+a²）
∴4a²=c²+a²
∴3a²=c²
∴e=

c

a

=

3

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線(xiàn)的性質(zhì)為載體，考查雙曲線(xiàn)的離心率，解題的關(guān)鍵是利用射影定理得|PA|²=|AF₁|×|AF₂|．