Question

已知a，b，c是正實數(shù)，且abc+a+c=b，設(shè)，則p的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈（0，），然后將p利用同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡，根據(jù)條件可求出角α、β、γ的等量關(guān)系，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．
解答：解：設(shè)a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈（0，），
則p=2cos²α-2cos²β+3cos²γ=cos2α-cos2β+3cos²γ=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos²γ．
由abc+a+c=b得b=
即tanβ==tan（α+γ），又α，β，γ∈（0，），
所以β=α+γ，β-α=γ，p=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos²γ=2sin（α+β）sinγ+3cos²γ≤2sinγ+3cos²γ=-3（sinγ-）²≤．
當(dāng)α+β=，sinγ=時取等號．
所以的最大值為
故答案為：
點評：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及三角換元和同角三角函數(shù)和和差化積等公式，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．