Question

14．已知命題p：實數(shù)x滿足$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{2}}}（x+2）＞-3}\\{{x^2}≤2x+15}\end{array}}$，已知命題q：實數(shù)x滿足（$\frac{1}{2}$）^{（x-2）（x-3a-1）}＞1．
（1）當(dāng)q為真命題時，不等式的解集記為A，求A；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式組，求出集合A即可；（2）通過討論a的范圍，求出關(guān)于命題q的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系求出a的范圍即可．

解答 解：（1））∵（$\frac{1}{2}$）^{（x-2）（x-3a-1）}＞1．
∴（x-2）（x-3a-1）＜0，
①3a+1＞2即a＞$\frac{1}{3}$時，不等式的解集是：A=（2，3a+1），
②3a+1＜2即a＜$\frac{1}{3}$時，不等式的解集是：A=（3a+1，2），
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{2}}}（x+2）＞-3}\\{{x^2}≤2x+15}\end{array}}$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+2＜8}\\{（x+3）（x-5）≤0}\end{array}\right.$，
解得：-2＜x≤5，
由（1）得：
①3a+1＞2即a＞$\frac{1}{3}$時，不等式的解集是（2，3a+1），
若p是q的必要不充分條件，
則（2，3a+1）?（-2，5]，
∴3a+1≤5，解得：a≤$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{4}{3}$；
②3a+1＜2即a＜$\frac{1}{3}$時，不等式的解集是（3a+1，2），
若p是q的必要不充分條件，
則（3a+1，2）?（-2，5]，
∴3a+1≥-2，解得：a≥-1，
∴-1≤a＜$\frac{1}{3}$；
綜上，a∈[-1，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查充分必要條件以及集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．