Question

已知數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式為a_n=(n∈N)，記f(n)=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），求f(1)，f(2)，f(3).推測(cè)f(n)的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

思路分析：首先通過(guò)計(jì)算a₂，a₃，a₄，帶入f（n），然后猜想f（n）的表達(dá)式，最后通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明.

解：f(1)=1-a₁=1-=，

f(2)=f(1)·（1-a₂）=（1-）=，

f(3)=f(2)·（1-a₃）=（1-）=.

由此猜想：f（n）=.

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，已求得f（1）=，

又=，

因此猜想正確.

(Ⅱ)假設(shè)n=k（k≥1，k∈N）時(shí)猜想正確，

即f（k）=正確.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

f（k+1）=f（k）·（1-a_k+1）

=

即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想正確.

綜合(Ⅰ)(Ⅱ)，f（n）=對(duì)一切n∈N都成立.