Question

在△ABC中，若cos3A+cos3B+cos3C=1，求證：△ABC中必有一個(gè)內(nèi)角為120°．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和，可知cos3A+cos3B+cos3C=（cos3A+cos3B）+cos[3π-3（A+B）]，先正充分性，若A，B，C中有一個(gè)角是120°，不妨令A(yù)=120°，則可知B+C=60° 進(jìn)而可知3A和3B 互補(bǔ)，進(jìn)而可得cos3B+cos3C=0代入前邊的等式可知cos3A+cos3B+cos3C=cos2π=1．進(jìn)而看必要性，若cos3A+cos3B+cos3C=1進(jìn)行恒等變換得到2cos

3A+3B

2

（cos

3A-3B

2

-cos

3A+3B

2

）=0，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．

解答：解：∵A+B+C=π
∴cos3A+cos3B+cos3C
=（cos3A+cos3B）+cos[3π-3（A+B）]
（1）證充分性：若A，B，C中有一個(gè)角是120°，不妨令A(yù)=120°，
所以B+C=60°，所以3C+3B=180°，即3C和3B 互補(bǔ)
所以cos3B+cos3C=0
∴cos3A+cos3B+cos3C=cos2π=1
（2）證必要性
若cos3A+cos3B+cos3C=1
即cos3A+cos3B+cos（3π-3A-3B）=1
即cos3A+cos3B-cos（3A+3B）=1
即2cos

3A+3B

2

cos

3A-3B

2

-2cos2

3A+3B

2

+1=1
即2cos

3A+3B

2

（cos

3A-3B

2

-cos

3A+3B

2

）=0
即2cos

3A+3B

2

（-2sin

3A

2

sin

3B

2

）=0
∴cos

3A+3B

2

=0或sin

3A

2

或sin

3B

2

=0
又A，B，C是三角形的三個(gè)內(nèi)角，故

3A+3B

2

＜

3π

2

，

3A

2

＜

3π

2

，

3B

2

＜

3π

2

，
∴

3A+3B

2

=

π

2

或

3A

2

=π或

3B

2

=π
∴A+B=

π

3

，即C=

2π

3

或A=

2π

3

或B=

2π

3

∴A，B，C中必有一個(gè)是120°
綜上知，命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，三角恒等變換的基本應(yīng)用．解題的關(guān)鍵利用充分和必要兩個(gè)方面去論證．