Question

（2013•嘉興二模）設(shè)F是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左焦點(diǎn)，C是其右頂點(diǎn)，過(guò)F作x軸的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若△ABC是鈍角三角形，則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（　�。�

• A．（1，2）
• B．（1+

  2

  ，+∞）
• C．（1，1+

  2

  ）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：利用雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及鈍角△ABC，可得∠ACF₁＞45°，從而得到|AF₁|＞|CF₁|，由此建立關(guān)于a、b、c的不等式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于離心率e的一元二次不等式，解之即可得出雙曲線(xiàn)離心率的范圍．

解答：解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得|AC|=|BC|，
∴△ABC是等腰三角形，
若△ABC是鈍角三角形，則∠ACB是鈍角．
∵∠ACF₁=

1

2

∠ACB，可得Rt△ACF₁中，∠ACF₁＞45°．
∴|AF₁|＞|CF₁|，可得

b2

a

＞a+c，
即

c2-a2

a

＞a+c，整理得c²-ac-2a²＞0
兩邊都除以a²，可得e²-e-2＞0，解之得e＜-1或e＞2．
∵雙曲線(xiàn)的離心率e∈（1，+∞），∴e＞2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和雙曲線(xiàn)的三個(gè)參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²，同時(shí)考查了等腰三角形的性質(zhì)和二次不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．