Question

直線ax+by=1與圓x²+y²=1相交于不同的A，B兩點（其中a，b是實數），且

OA

•

OB

＞0（O是坐標原點），則點P（a，b）與點（0，

1

2

）距離的取值范圍為（　�。�

• A．（1，+∞）
• B．（

  1

  2

  ，+∞）
• C．（

  1

  2

  ，

  2

  ）
• D．(

  1

  2

  ，

  1

  2

  +

  2

  )

Answer 1

分析：設出點A、B的坐標，將直線與圓的方程聯(lián)立，利用根與系數的關系即可表示出判別式△與

OA

•

OB

，即可得出a、b滿足的條件，進而利用兩點間的距離公式即可得出．

解答：解：當b≠0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

ax+by=1 x2+y2=1

，消去y得到（a²+b²）x²-2ax+1-b²=0，
∵直線ax+by=1與圓x²+y²=1相交于不同的A，B兩點，∴△=4a²-4（a²+b²）（1-b²）＞0，化為a²+b²＞1．（*）
由根與系數的關系得x1+x2=

2a

a2+b2

，x1x2=

1-b2

a2+b2

．
∵

OA

•

OB

＞0，∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又ax₁+by₁=1，ax₂+by₂=1，
∴b²y₁y₂=（1-ax₁）（1-ax₂0，
∴（b²+a²）x₁x₂-a（x₁+x₂）+1＞0，
代入得

(a2+b2)(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1＞0，化為a²+b²＜2．（**）
聯(lián)立（*）（**）得

a2+b2＞1 a2+b2＜2

，當b=0時也成立．
畫出圖象：
當P分別取（0，1），（0，-

2

）時，|QP|取得最小值與最大值，
∴|QP|滿足

1

2

＜|QP|＜

1

2

+

2

．
因此點P（a，b）與點（0，

1

2

）距離的取值范圍為(

1

2

，

1

2

+

2

)．
故選D．

點評：熟練掌握直線與圓相交問題的解題模式、判別式、數量積的計算及兩點間的距離公式是解題的關鍵．