Question

13．過(guò)拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且斜率為$\frac{3}{4}$的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C與A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（0＜λ＜1），λ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)AB的方程．將直線(xiàn)AB方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義和向量的線(xiàn)性關(guān)系式加以計(jì)算，可得答案．

解答 解：拋物線(xiàn)y²=2px的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），可得得直線(xiàn)AB的方程為y=$\frac{3}{4}$（x-$\frac{p}{2}$），
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）
直線(xiàn)AB方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)解消去y，可得9x²-41px+$\frac{9}{4}$p²=0
解之得：x₁=$\frac{1}{18}$p，x₂=$\frac{9}{2}$p，
由拋物線(xiàn)的定義，可得|$\overrightarrow{AF}$|=x₁+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{9}$p，|$\overrightarrow{FB}$|=x₂+$\frac{p}{2}$=5p，
∵$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，∴λ=$\frac{1}{9}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦斜率為1，求焦點(diǎn)分焦點(diǎn)弦所得的比值．考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、拋物線(xiàn)定義和向量的共線(xiàn)等知識(shí)，屬于中檔題．