Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=x-

a

x

（a＞0），有下列四命題：
①f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；   
②f（x）是奇函數(shù)；
③f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）上單調(diào)遞增；
④方程|f（x）|=b（b≥0）總有四個(gè)不同的解；
其中正確的有

②③

．

Answer 1

分析：①由于f(x)=x-

a

x

（a＞0）在x=

a

時(shí)f（x）=0可判斷①；②f（-x）=-x+

a

x

=-(x-

a

x

)=-f（x），可判斷②；③當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，利用單調(diào)性的定義可判斷f(x)=x-

a

x

（a＞0）在（0，+∞）單調(diào)性，由奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同可判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)性，故可判斷③；④令|f（x）|=0可判斷④

解答：解：①∵f(x)=x-

a

x

（a＞0）在x=

a

時(shí)f（x）=0∉（-∞，0）∪（0，+∞），故①不正確；
②f（-x）=-x+

a

x

=-(x-

a

x

)=-f（x），則可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故②正確
③當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）-f（x₂）=x1- 

a

x1

-x2+

a

x2

=(x1- x2)-(

a

x1

-

a

x2

)
=(x1-x2)-

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1+

a

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂，a＞0
∴x₁-x₂＜0，1+

a

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f(x)=x-

a

x

（a＞0）在（0，+∞）單調(diào)遞增，由奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同可知函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，故③正確
④|令f（x）|=0可得|x-

a

x

|=0，則x=±

a

，只有2個(gè)解，故④不正確；
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的值域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)并能靈活應(yīng)用．