Question

某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘遠(yuǎn)洋漁船，每年的捕撈可有50萬元的總收入，已知使用x年（x∈N^*）所需（包括維修費）的各種費用總計為2x²+10x萬元．
（1）該船撈捕第幾年開始贏利（總收入超過總支出，今年為第一年）？
（2）該船若干年后有兩種處理方案：
①當(dāng)贏利總額達(dá)到最大值時，以8萬元價格賣出；
②當(dāng)年平均贏利達(dá)到最大值時，以26萬元賣出，
問哪一種方案較為合算？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵每年的捕撈可有50萬元的總收入，使用x年（x∈N^*）所需（包括維修費）的各種費用總計為2x²+10x萬元，
∴由該船撈捕第x年開始贏利，可得50x＞2x²+10x+98
∴x²-20x+49＜0
∴x∈[3，17]（x∈N^*）
∴該船撈捕第3年開始贏利；
（2）①令y₁=50x-2x²+10x+98=-2（x-10）²+102
∴x=10時，贏利總額達(dá)到最大值102萬元
∴10年贏利總額為102+8=110；
令y₂=，則由基本不等式可得≤12
此時，x=7，年平均贏利達(dá)到最大值為12萬元
∴7年贏利總額為7×12+26=110萬元，
兩種情況的盈利額一樣，但方案②的時間短，故方案②合算．
分析：（1）根據(jù)題意，由該船撈捕第x年開始贏利，可得50x＞2x²+10x+98，解得x的取值范圍從而解決問題．
（2）①先求出平均盈利的函數(shù)表達(dá)式，再利用基本不等式求其最大值，從而得出盈利總額；
②先求出平均盈利的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求其最大值，從而得出盈利總額；最后比較兩種情況的盈利額的情況即可解決問題．
點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式的運用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．