Question

橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓方程為+=1，把點A（2，3）代入橢圓方程，把離心率e=用a，c表示，再根據b²=a²-c²，求出a²，b²，得橢圓方程；
（Ⅱ）可以設直線l上任一點坐標為（x，y），根據角平分線上的點到角兩邊距離相等得=|x-2|．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓E的方程為
+=1
由e=，得，b²=a²-c²=3c²，∴
將A（2，3）代入，有，解得：c=2，
∴橢圓E的方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F₂（2，0），所以直線AF₁的方程為y=（x+2），
即3x-4y+6=0，直線AF₂的方程為x=2，由橢圓E的圖形知，∠F₁AF₂的角平分線所在直線的斜率為正數
設P（x，y）為∠F₁AF₂的角平分線所在直線上任一點，則有=|x-2|
若3x-4y+6=-5x+10，得x+2y-8=0，其斜率為負，不合題意，舍去．
于是3x-4y+6=10-5x，即2x-y-1=0．
所以，∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程為2x-y-1=0
點評：對于橢圓解答題，一般都是設橢圓方程為+=1，根據題目滿足的條件求出a²，b²，得橢圓方程，這一問通常比較簡單；（2）對于角平分線問題，利用角平分線的幾何意義，即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程．