Question

已知函數(shù)f（x）=ln²（1+x）-。
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式（1+）^n+a≤e對(duì)任意的n∈N*都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。求a的最大值。

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是

設(shè)
則
令
則
當(dāng)時(shí)，在（-1，0）上為增函數(shù)
當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù)
所以h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0
所以
函數(shù)g（x）在上為減函數(shù)
于是當(dāng)時(shí)，
當(dāng)x＞0時(shí)，
所以，當(dāng)時(shí)，在（-1，0）上為增函數(shù)
當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù)
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為。
（2）不等式等價(jià)于
由知
設(shè)
則
由（1）知即
所以于是G（x）在上為減函數(shù)
故函數(shù)G（x）在上的最小值為
所以a的最大值為。