Question

17．如圖，在四棱錐S-ABCD中，已知底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，SA⊥底面ABCD，$SA=AB=BC=2，tan∠SDA=\frac{2}{3}$．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)tan∠SDA計算AD，得出棱錐的底面直角梯形的面積，代入棱錐的體積公式計算；
（2）在SD上取靠近SD的三等分點E，在SA上取靠近A的三等分點F，連結EF，由相似三角形得出EF=2，EF∥AD，故而四邊形BCEF是平行四邊形，于是CE∥BF，得出CE∥平面SAB．

解答 解：（1）∵SA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴SA⊥AD．
∵tan∠SDA=$\frac{SA}{AD}$=$\frac{2}{3}$，SA=2，∴AD=3
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（BC+AD）×AB=5．
∴V_S-ABCD=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD×SA=$\frac{1}{3}$×5×2=$\frac{10}{3}$．
（2）當點E位于棱SD上靠近D的三等分點處時，可使CE∥平面SAB．
取SD上靠近D的三等分點為E，取SA上靠近點A的三等分點為F，連接CE，EF，BF，
則△SFE∽△SAB，∴$\frac{EF}{AD}=\frac{SF}{SA}=\frac{2}{3}$，
∴EF∥AD，EF=2，
又∵BC∥AD，BC=2，
∴BC∥EF，BC=EF．
∴四邊形BCEF是平行四邊形．
∴CE∥BF．又∵BF?平面SAB，CE?平面SAB，
∴CE∥平面SAB．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．