Question

如圖所示，已知圓C：(x＋1)²＋y²＝8，定點A(1，0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程；

(2)過點且斜率為k的動直線l交曲線E于A、B兩點，在y軸上是否存在定點G，滿足使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ) 　　∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|＝|NM|　　2分 　　又 　　∴動點N的軌跡是以點C(－1，0)，A(1，0)為焦點的橢圓． 　　且橢圓長軸長為焦距2c＝2．　　4分 　　∴曲線E的方程為　　5分 　　(2)動直線的方程為： 　　由得 　　設(shè) 　　則　　6分 　　假設(shè)在y上存在定點G(0，m)，滿足題設(shè)，則 　　 　　由假設(shè)得對于任意的恒成立， 　　即解得m＝1． 　　因此，在y軸上存在定點G，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，點G的坐標(biāo)為(0，1)　　9分 　　這時，點G到AB的距離 　　 　　設(shè)則 　　得 　　所以 　　當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立． 　　因此，面積的最大值是　　12分