Question

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長為的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) 詳見解析；(Ⅲ) 直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

試題分析：（I）利用兩平面垂直的性質(zhì)定理，證明BC平面AEC,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AEBC,根據(jù)勾股定理證明AEEC，利用線面垂直的判定定理證明AE平面BCEF;（II）三棱錐體積利用體積轉(zhuǎn)換為以E為頂點(diǎn)，為底面的椎體體積求得. 等體積轉(zhuǎn)化，是立體幾何經(jīng)常運(yùn)用的一種方法，高考也考過．

試題解析：（Ⅰ）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，∵，，，∴四邊形為正方形，∵為的中點(diǎn)，∴為的交點(diǎn)，∵， ，

  ∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；

 

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得： ，，，，，，則，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；                              

 (Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個(gè)法向量為，又

則，∴直線與平面所成角的正弦值為.

考點(diǎn)：1、線面垂直的判定和性質(zhì)定理應(yīng)用；2、線面平行的判定和性質(zhì)定理應(yīng)用；3、求線面角的問題，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力以及空間想象能力．