Question

一整數(shù)數(shù)列b₁,b₂,b₃,…,b_n滿足b_n=b_n-1-b_n-2(n≥3),若前2 000項之和為1 999.

(1)求前2 006項之和;

(2)若b₁=666,求前2 008項之和.

Answer 1

解:(1)除題設的遞推式b_n=b_n-1-b_n-2這一條件外,僅憑觀察發(fā)現(xiàn)不了與解題相關的信息,為了尋求數(shù)列項與項之間的內在聯(lián)系,我們由條件做些實驗:

b₁，b₂,b₃=b₂-b₁,b₄=b₃-b₂=(b₂-b₁)-b₂=-b₁(這里出現(xiàn)了第一個規(guī)律);

b₅=b₄-b₃=-b₁-(b₂-b₁)=-b₂(這里出現(xiàn)了第二個規(guī)律);

b₆=b₅-b₄=-b₂-(-b₁)=-(b₂-b₁)=-b₃(這里出現(xiàn)了第三個規(guī)律,從而還出現(xiàn)了一個更為重要的規(guī)律:b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆=0);

b₇=b₆-b₅=-b₃-(-b₂)=b₁(發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律);

b₈=b₇-b₆=b₁-(-b₃)=b₂(發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律).

    不但如此,我們還發(fā)現(xiàn)此數(shù)列出現(xiàn)了周期現(xiàn)象,周期T=6,即b_n+6=b_n,

    而且b_n+b_n+1+b_n+2+b_n+3+b_n+4+b_n+5=0,

∵2 006÷6余2,且數(shù)列的任意相鄰六項之和均為零,∴S_{2 006}=S₂.

    而2 000÷6余2,∴S_{2 000}=S₂.故S_{2 006}=S_{2 000}=1 999.

(2)解出了第(1)題,第(2)題便容易了.

∵2 008÷6余4,∴S_{2 008}=S₄.

    又b₁=666,b₁+b₂=1 999,∴b₂=1 333.從而b₃=b₂-b₁=1 333-666=667,

    而S₄=b₁+b₂+b₃+b₄=b₁+b₂+b₃+(-b₁)=b₂+b₃=1 333+667=2 000.∴S_{2 008}=2000.