Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，$\sqrt{3}$cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$+cos（A+B）．
（1）求∠C；
（2）若c=3，b=$\sqrt{3}$a，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式求得sin（C+$\frac{π}{6}$）的值，可得C的值．
（2）由條件利用余弦定理求得a的值，可得△ABC的面積S．

解答 解：（1）由題意可得 $\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB=\sqrt{3}+cos（A+B）$，∴$\sqrt{3}sinC+cosC=\sqrt{3}$，
∴$sin（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$C=\frac{π}{6}$或$C=\frac{π}{2}$．
（2）當(dāng)$C=\frac{π}{6}$時(shí)，根據(jù)c=3，b=$\sqrt{3}$a，由余弦定理得c²=a²+b²-2ab•cosC，
求得 a=3，∴$S=\frac{1}{2}•\sqrt{3}{b^2}sin\frac{π}{6}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，
當(dāng)$C=\frac{π}{2}$時(shí)，由勾股定理得a=$\frac{3}{2}$，∴$S=\frac{1}{2}•\sqrt{3}{b^2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．