Question

某種商品的價格為每件a元，若漲價x成時，賣出的數量便減少mx成（m為正常數）．
（Ⅰ）當m=0.8時，應漲幾成價格，才能使售出的商品總金額最大？
（Ⅱ）若適當地漲價，能使銷售款增加，那么m的值在什么范圍內？

Answer 1

分析：（Ⅰ）某種商品去年售價為每件a元，可售出b件．今年漲價x成（1成=10%），則售出的數量減少mx成（m是正常數）．今年該商品售價為每件a(1+

x

10

)，售出的數量是b(1-

mx

10

)，從而可求售出總金額，利用配方法可求其最值；
（Ⅱ）原營業(yè)額為ab，若是營業(yè)額增加只要a(1+

x

10

)×b(1-

mx

10

)-ab的值大于零，從而可求m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設賣出b件商品，則售出貨款為y=ab．…（1分）
若漲價x成，每件售價為a（1+

x

10

）元，賣出了b（1-

mx

10

）件，
售出總金額為y=ab（1+

x

10

）（1-

mx

10

）．…（2分）
當m=0.8時，y=ab（1+

x

10

）（1-

2

25

x）=ab[-

1

125

（x-

5

4

）²+

81

80

]．…（2分）
故當x=

5

4

時，y取最大值，即漲價125%時，售出的總金額最大．…（2分）
（Ⅱ）由題意知a(1+

x

10

)×b(1-

mx

10

)-ab＞0
化簡得：

m

100

x2+

m-1

10

x＜0
因為x＞0
所以

m

100

x +

m-1

10

＜0
∴mx＜10（1-m）
∴0＜x＜

10(1-m)

m

（m＞0）
∴

10(1-m)

m

＞ 0
∴0＜m＜1

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查配方法的運用，考查不等式的解法，解題的關鍵是審清題意，構造函數模型．