Question

如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE＝EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．

(1)求證：AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B－AC－E的大�。�

(3)求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE．

　　∵二面角D－AB－E為直二面角且CB⊥AB，

　　∴CB⊥平面ABE．∴CB⊥AE．

　　∴AE⊥平面BCE．

　　(2)解：以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O－xyz．

　　∵AE⊥面BCE，BE面BCE，

　　∴AE⊥BE．

　　在Rt△AEB中，AB＝2，O為AB的中點，OE＝1，

　　∴A(0，－1，0)，E(1，0，0)，C(0，1，2)，

　　＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，

　　設平面AEC的一個法向量為n＝(x，y，z)，

　　則令z＝1，

　　則n＝(1，－1，1)是平面AEC的一個法向量．

　　又平面BAC的一個法向量為m＝(1，0，0)．

　　∴cos〈m，n〉＝．

　　∴二面角B－AC－E的大小為arccos．

　　(3)解：∵D(0，－1，2)，∴＝(0，0，2)．

　　∴點D到平面ACE的距離

　　d＝|||cos〈，n〉|＝．

提示：

本題考查了線面垂直的判定、二面角的求法以及點面距的求法．求點到平面的距離時，可以用常規(guī)法(作－證－求)，也可以用向量法．用向量法求值可以有效地避免添加輔助線的麻煩．