Question

1．（1）當實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$時，1≤x+ay≤5恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{8}{3}$]．
（2）設(shè)P，Q分別為圓x²+（y-6）²=2和橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+y²=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由約束條件作出可行域，再由1≤x+ay≤5恒成立，結(jié)合可行域內(nèi)特殊點A，B，C的坐標滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實數(shù)a的取值范圍；
（2）求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離．

解答 解：（1）由約束條件作可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，$\frac{3}{2}$）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0，得A（1，0）．
要使1≤x+ay≤5恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{3}{2}a-1≥0}\\{2+a-1≥0}\\{1+\frac{3}{2}a-5≤0}\\{2+a-5≤0}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤$\frac{8}{3}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{8}{3}$]．
（2）設(shè)橢圓上的點為（x，y），
∵圓x²+（y-6）²=2的圓心為（0，6），半徑為$\sqrt{2}$，
∴橢圓上的點（x，y）到圓心（0，6）的距離為$\sqrt{{x}^{2}+（y-6）^{2}}$=$\sqrt{10（1-{y}^{2}）+（y-6）^{2}}$
=$\sqrt{-9（y+\frac{2}{3}）^{2}+50}$≤5$\sqrt{2}$，
∴P，Q兩點間的最大距離是5$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．
故答案為：（1）$[0，\frac{8}{3}]$ （2）$6\sqrt{2}$

點評 本題考查線性規(guī)劃，以及橢圓、圓的方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．