Question

如圖，點P（0，-1）是橢圓的一個頂點，C₁的長軸是圓的直徑．l₁，l₂是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)₁交圓C₂于兩點，l₂交橢圓C₁于另一點D
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求△ABD面積取最大值時直線l₁的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得b=1，2a=4，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y）．由題意可知：直線l₁的斜率存在，設(shè)為k，則直線l₁的方程為y=kx-1．利用點到直線的距離公式和弦長公式即可得出圓心O到直線l₁的距離和弦長|AB|，又l₂⊥l₁，可得直線l₂的方程為x+kx+k=0，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點D的橫坐標，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值，即得到k的值．
解答：解：（1）由題意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴橢圓C₁的方程為；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y）．
由題意可知：直線l₁的斜率存在，設(shè)為k，則直線l₁的方程為y=kx-1．
又圓的圓心O（0，0）到直線l₁的距離d=．
∴|AB|==．
又l₂⊥l₁，故直線l₂的方程為x+ky+k=0，聯(lián)立，消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得，
∴．
∴三角形ABD的面積．
∴=，當且僅當時取等號，
故所求直線l₁的方程為．
點評：本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查了推理能力和計算能力及分析問題和解決問題的能力．