Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，，且，為的中點(diǎn).

（I）求證：平面；

（II）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析（II）

【解析】

試題分析：（I）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要利用平幾知識，如本題利用三角形中位線得：連接交于點(diǎn)，則（II）求線面角，一般利用空間向量，即先根據(jù)條件建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解面的法向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角余弦值，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求線面角的正弦值

試題解析：解：（I）連接，交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn).

又∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，

∴，又∵平面，平面，

∴平面.

（II）∵，，，∴平面，

如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

∴，，，

設(shè)平面的一個法向量為，由，得，

，令，則，，

∴，又∵，

∴，

∴直線與平面所成角的正弦值為.