Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=（2-t）•2^x+（t-3）．其中t為常數(shù)，且t∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由代入法，計(jì)算即可得到所求值；
（2）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，令m=2^-x，則h（m）=（2-t）m+（t-3）m²，對t討論，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）f（0）=（2-t）•2⁰+（t-3）=2-t+t-3=-1；
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$=（2-t）•2^-x+（t-3）•4^-x，
由0≤x≤1，可得2^-x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
令m=2^-x，則h（m）=（2-t）m+（t-3）m²，
當(dāng)t=3時(shí)，h（m）=-m在[$\frac{1}{2}$，1]遞減，即有h（1）=-1為最小值；
當(dāng)t＜3時(shí)，對稱軸m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$＜$\frac{1}{2}$，區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]為減區(qū)間，
h（1）取得最小值，且為-1；
當(dāng)3＜t≤4，對稱軸m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$＞1，區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]為減區(qū)間，
h（1）取得最小值，且為-1；
當(dāng)t＞4時(shí)，對稱軸m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，在x=$\frac{t-2}{2（t-3）}$處取得最小值，
且為-$\frac{（t-2）^{2}}{4（t-3）}$．
綜上可得，當(dāng)t≤4時(shí)，g（x）的最小值為-1；
當(dāng)t＞4時(shí)，g（x）的最小值為-$\frac{（t-2）^{2}}{4（t-3）}$．

點(diǎn)評 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．