Question

8．（1）解不等式：|2x-2|＜|x-4|；
（2）記（1）中不等式的解集為A，當a，b∈A時，證明：2|a+b|＜|4+ab|

Answer 1

分析 （1）不等式|2x-2|＜|x-4|，即 （2x-2）²＜（x-4）²，由此求得不等式的解集．
（2）由題意可得-2＜a＜2，-2＜b＜2，用比較法證得|4+ab|²-（2|a+b|）²＞0，可得不等式 2|a+b|＜|4+ab|成立．

解答 解：（1）不等式：|2x-2|＜|x-4|，即 （2x-2）²＜（x-4）²，即 3x²＜12，
求得-2＜x＜2，故不等式的解集為（-2，2）．
（2）記（1）中不等式的解集為A，當a，b∈A時，有-2＜a＜2，-2＜b＜2．
∵|4+ab|²-（2|a+b|）²=16+8ab+a²•b²-4（a²+2ab+b²）
=16+a²•b²-4a²-4b²=4（4-b²）+a²（b²-4）=（4-b²）（4-a²）＞0，
∴|4+ab|＞2|a+b|，即 不等式 2|a+b|＜|4+ab|成立．

點評 本題考查絕對值函數，考查解不等式，考查不等式的證明，解題的關鍵是將不等式寫成分段函數，利用作差法證明不等式，屬于中檔題．