Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H為BC、CD、CC₁、C₁D₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁G⊥平面EFC₁；
（Ⅱ）求證：BH∥平面EFC₁．

Answer 1

分析：（I）以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，求出向量

EF

、

C1E

、

A1G

的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積為零證得

A1G

⊥

EF

，

A1G

⊥

C1E

，從而證得結(jié)論；
（II）根據(jù)

BH

=

EF

-

C1E

，則

BH

、

EF

、

C1E

共面，又BH不在平面EFC₁內(nèi)，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可知BH∥平面EFC₁．

解答：解：如圖，建立坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A₁（2，0，2）、B₁（2，2，2）、C₁（0，2，2）、D₁（0，0，2）、B（2，2，0）、E（1，2，0）、F（0，1，0）、G（0，2，1），H（0，1，2）
（Ⅰ）∵

EF

=(-1，-1，0)，

C1E

=(1，0，-2)，

A1G

=(-2，2，-1)
∴

A1G

•

EF

=(-1，-1，0)•(-2，2，-1)=0
∴

A1G

⊥

EF

∵

A1G

•

C1E

=(1，0，-2)•(-2，2，-1)=0
∴

A1G

⊥

C1E

而EF∩C₁E=E
∴A₁G⊥平面EFC₁
（Ⅱ）∵

BH

=(0，1，2)-(2，2，0)=(-2，-1，2)=

EF

-

C1E

，
∴

BH

、

EF

、

C1E

共面．
又BH不在平面EFC₁內(nèi)，∴BH∥平面EFC₁

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間向量的方法證明線(xiàn)面垂直，以及線(xiàn)面平行，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．