Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝2x³－3(a＋1)x²＋6ax＋8，其中a∈R．

(1)若f(x)在x＝3處取得極值，求常數(shù)a的值；

(2)若f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)． 　　因為f(x)在x＝3處取得極值， 　　所以(3)＝6(3－a)(3－1)＝0．解得a＝3．經(jīng)檢驗知當a＝3時，x＝3為f(x)的極值點． 　　(2)令(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，得x1＝a，x2＝1．當a＜1時，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，則(x)＞0， 　　所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數(shù)． 　　故當0≤a＜1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．當a≥1時，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，則(x)＞0， 　　所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數(shù)．從而f(x)在(－∞，0)上也為增函數(shù)． 　　綜上所述，當a∈[0，＋∞)時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 　　解析：(1)根據(jù)(3)＝0列方程求a的值；(2)根據(jù)(x)＞0在x∈(－∞，0)上恒成立討論a的范圍．