Question

已知函數(shù)，p∈R．
（ I）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（ II） 若函數(shù)f（x）在其定義域內為增函數(shù)，求正實數(shù)p的取值范圍；
（ III）設函數(shù)，求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

（本小題共14分）
解：（I）當p=2時，函數(shù)，
f（1）=2-2-2ln1=0，
，…（1分）
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．…（2分）
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即y=2x-2．…（3分）
（ II） ．（x＞0）…（4分）
因為f（x）在定義域內是增函數(shù)，
所以?x∈（0，+∞），
f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．…（5分）

即恒成立．…（6分）
而∵x＞0，∴，
∴（當且僅當x=1時取等號），…（7分）
∴，∴P≥1．…（8分）
（ III）（x＞0），
…（9分）
（1）當p=0時，總成立，g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）…（10分）
當p≠0時，
（2）當p＞0時，遞增區(qū)間為g（x）的單調遞減區(qū)間為，…（11分）
（3）當p=-2時，總成立，g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）…（12分）
（4）當-2＜p＜0時，g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）…（13分）
（5）當p＜-2時，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為…（14分）
分析：（I）當p=2時，函數(shù)，f（1）=2-2-2ln1=0，，由此能求出曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（ II） ．（x＞0）因為f（x）在定義域內是增函數(shù)，所以?x∈（0，+∞），f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．恒成立，由此能求出正實數(shù)p的取值范圍．
（ III）由（x＞0），知，由此進行分類討論，能求出函數(shù)g（x）的單調區(qū)間．
點評：本題考查切線方程的求法，正實數(shù)的取值范圍的求法，求函數(shù)的單調區(qū)間，考查化歸與轉化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．