Question

17．已知ω＞0，函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{4}$-ωx）在（$\frac{π}{2}$，π）上單調遞減，則ω的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調性求出0＜ω≤2，然后求出當x∈（$\frac{π}{2}$，π）時，ωx-$\frac{π}{4}$的取值范圍，利用余弦函數(shù)的單調性建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：f（x）=cos（$\frac{π}{4}$-ωx）=cos（ωx-$\frac{π}{4}$），
若函數(shù)f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上單調遞減，
則T=$\frac{2π}{ω}$≥2（$π-\frac{π}{2}$）=π，
∴0＜ω≤2，
若$\frac{π}{2}$＜x＜π，則$\frac{π}{2}$ω＜ωx＜ωπ，
$\frac{π}{2}$ω-$\frac{π}{4}$＜ωx-$\frac{π}{4}$＜ωπ-$\frac{π}{4}$，
∵0＜ω≤2，
∴-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$ω-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{π}{4}$＜ωπ-$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∴若函數(shù)f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上單調遞減，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}ω-\frac{π}{4}≥0}\\{ωπ-\frac{π}{4}≤π}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{ω≥\frac{1}{2}}\\{ω≤\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查三角函數(shù)單調性的應用，根據(jù)函數(shù)的單調性和周期之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．