Question

已知向量

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若5cos（θ-φ）=3

5

cosφ，0＜φ＜

π

2

，求cosφ的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

得到sinθ=2cosθ，再結(jié)合sin²θ+cos²θ=1求出sinθ和cosθ的值；
（2）5cos(θ-?)=3

5

cos?，對(duì)等式左邊用余弦的差角公式展開，得到cosφ=sinφ再有sin²φ+cos²φ=1，及0＜φ＜

π

2

求得cosφ的值

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ…（2分）
又∵sin²θ+cos²θ=1，
∴4cos²θ+cos²θ=1，即cos2=

1

5

，
∴sin2θ=

4

5

…（4分）
又　θ∈(0，

π

2

)∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

…（6分）
（2）∵5cos（θ-φ）=5（cosθcosφ+sinθsinφ）=

5

cosφ+2

5

sinφ=3

5

cosφ…（8分）
∴cosφ=sinφ，
∴cos²φ=sin²φ=1-cos²φ，
即cos2φ=

1

2

…（10分）
又 0＜φ＜

π

2

，
∴cosφ=

2

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解向量垂直的坐標(biāo)表示公式，以及能熟練利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求三角函數(shù)值，解本題時(shí)要注意隱含條件sin²θ+cos²θ=1的運(yùn)用，本題考查了變形與計(jì)算的能力