Question

14．已知數列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+4）（$\frac{2}{3}$）ⁿ，若數列最大項為a_k，則k=4．

Answer 1

分析 根據題意，得出$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{k}{≥a}_{k+1}}\\{{a}_{k}{≥a}_{k-1}}\end{array}\right.$，代人通項公式并化簡，求出符合題意的k的值．

解答 解：數列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+4）（$\frac{2}{3}$）ⁿ，且最大項為a_k，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{k}{≥a}_{k+1}}\\{{a}_{k}{≥a}_{k-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k（k+4{）（\frac{2}{3}）}^{k}≥（k+1）（k+5{）（\frac{2}{3}）}^{k+1}}\\{k（k+4{）（\frac{2}{3}）}^{k}≥（k-1）（k+3{）（\frac{2}{3}）}^{k-1}}\end{array}\right.$，
化簡$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}≥10}\\{{k}^{2}-2k-9≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k≤-\sqrt{10}或k≥\sqrt{10}}\\{1-\sqrt{10}≤k≤1+\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
即$\sqrt{10}$≤k≤1+$\sqrt{10}$；
又k∈N^*，
∴k=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了數列的通項公式與應用問題，也考查了不等式組的解法與應用問題，解題的關鍵是把題目轉化為等價的不等式組，是基礎題目．