Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若數列{a_n}滿足：a₁=f（0），f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），則a₂₀₁₁的值為

4021

．

Answer 1

分析：先通過等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，得出當且僅當x=0時有f（0）=1，由已知，由f(an+1)=

1

f(-2-an)

，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n，判斷出數列{a_n}是等差數列，利用通項公式求解即可．

解答：解：在f（x）f（y）=f（x+y）中取x=-1，y=0，得出f（-1）f（0）=f（-1），當x＜0時，f（x）＞1，所以f（0）=1．
當x＞0時，f（x）f（-x）=f（0）=1，f（x）=

1

f(-x)

∈（0，1）．
又a₁=f（0）=1，
由f(an+1)=

1

f(-2-an)

，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n
所以數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列，通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1，
所以a₂₀₁₁=4021．
故答案為：4021．

點評：本題是函數與數列的綜合，考查賦值法、轉化構造法、用到了等差數列的判定、通項公式求解及應用．