Question

（2013•棗莊二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

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2

anan+1，n∈N*，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=an+

2

(n∈N*)，求證：數(shù)列{b_n}中任意的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）先利用條件，得出數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，再求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n，假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知b_q²=b_pb_r．把b_p，b_q，b_r代入求得p=q=r，矛盾，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：由題意，S1=

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2

a1a2，a₁=1，∴a₂=2．
∵Sn=

1

2

anan+1，∴n≥2時，Sn-1=

1

2

an-1an
兩式相減可得an=

1

2

an（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_2n=a₂+2（n-1）=2n，a_2n-1=a₁+2（n-1）=2n-1
∴a_n=n；
（2）證明：bn=an+

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=n+

2

假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則b_q²=b_pb_r．
∴(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)
∴

2

(2q-p-r)=pr-q2
∴2q-p-r=0，pr-q²=0
∴(

p+r

2

)2=pr
∴（p-r）²=0
∴p=r
∴p=q=r，這與p，q，r互不相等矛盾
∴假設(shè)不成立
∴數(shù)列{b_n}中任意的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查反證法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用反證法．