Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，其中點(diǎn)在以為直徑的圓上，，，，平面平面.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，得到，計(jì)算出的長，通過勾股定理證得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面.（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系通過計(jì)算平面和平面的法向量，計(jì)算二面角的余弦值，進(jìn)而求得其正弦值.

（1）證明：連接，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以.

因?yàn)?/span>，所以，.

所以.

因?yàn)?/span>為等腰梯形，，

所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以，從而得.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面.

（2）解：由（1）易知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

因?yàn)?/span>，所以，，，.

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

由，得，令，得，

由，得，令，得，

所以，所以，

故二面角的正弦值為.