Question

如圖,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點(diǎn),截面DAN交PC于M.

(1)求PB與平面ABCD所成角的大小;

(2)求證:PB⊥平面ADMN;

(3)求以AD為棱,PAD與ADMN為面的二面角的大小.

Answer 1

(1)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO、BO.

△PAD是正三角形,所以PO⊥AD,

又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,所以,PO⊥平面ABCD.

BO為PB在平面ABCD上的射影,

所以∠PBO為PB與平面ABCD所成的角.

由已知△ABD為等邊三角形,所以PO=BO=,

所以PB與平面ABCD所成的角為45°.

(2)證明:連結(jié)BD,△ABD是正三角形,所以AD⊥BO.所以,AD⊥PB.

又PA=AB=2,N為PB中點(diǎn),

所以AN⊥PB.

所以PB⊥平面ADMN.

(3)解:連結(jié)ON,因?yàn)镻B⊥平面ADMN,所以O(shè)N為PO在平面ADMN上的射影.因?yàn)锳D⊥PO,所以AD⊥NO.

故∠PON為所求二面角的平面角.

    因?yàn)椤鱌OB為等腰直角三角形,N為斜邊中點(diǎn),所以∠PON=45°,即所求二面角的大小為45°.