Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=3，$\frac{1}{3}{a_n}={a_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*，n≥2），則a_n=（3n-2）•3ⁿ．

Answer 1

分析 $\frac{1}{3}{a_n}={a_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*，n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=3，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{3}{a_n}={a_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*，n≥2），∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=3，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為3，首項為1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
則a_n=（3n-2）•3ⁿ．
故答案為：（3n-2）•3ⁿ．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．