Question

在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=

∠DEA=90°．

（1）求證：PA⊥平面ABCDE；（2）若為中點，求證：平面

（3）求二面角A-PD-E的正弦值；（4）求點C到平面PDE的距離

                            

Answer 1

解：（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2a,∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，

即PA⊥AB．同理PA⊥AE． ∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE． 

（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，為中點，所以AG⊥PE，

∴AG⊥平面PDE                             

（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G，過DE⊥AG，                      

∴AG⊥平面PDE．過G作GH⊥PD于H，連AH，由三垂線定理得AH⊥PD．

∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．                                               

在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a，∴在直角△AHG中，

sin∠AHG＝＝．∴二面角A-PD-E的正弦值為．         

（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,  BC=DE=a, AB=AE=2a, 取AE中點F，連CF，

∵AF∥=BC,∴四邊形ABCF為平行四邊形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，

而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．

∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．

∴平面PAE⊥平面PDE．∴過F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE．

∴FG的長即F點到平面PDE的距離．      

在△PAE中，PA=AE=2a，F為AE中點，FG⊥PE，   ∴FG=a．

∴點C到平面PDE的距離為a．（或用等體積法求）