Question

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿(mǎn)足向量

(1)若A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)P為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，以線(xiàn)段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)F1，問(wèn)是否存在過(guò)F2的直線(xiàn)與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題易知，因?yàn)?/span>，所以為等腰三角形

所以b=c，由此可求，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）由（1）可得．，P的坐標(biāo)為

則由題意得,即，又因?yàn)镻在橢圓上，所以,聯(lián)立可得

設(shè)圓心為 ，則，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑r．設(shè)直線(xiàn)的方程為：．利用直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)即可得出．

（1）易知，因?yàn)?/span>

所以為等腰三角形

所以b=c，由可知

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）由已知得,

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，P的坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>,所以

由題意得,所以

又因?yàn)镻在橢圓上，所以,由以上兩式可得

因?yàn)镻不是橢圓的頂點(diǎn)，所以，故

設(shè)圓心為 ，則

圓的半徑

假設(shè)存在過(guò)的直線(xiàn)滿(mǎn)足題設(shè)條件，并設(shè)該直線(xiàn)的方程為

由相切可知,所以

即，解得

故存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)。