Question

已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為F₁、F₂，在雙曲線C上有一點M，使MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面積為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P（3，1）的動直線 l與雙曲線C的左、右兩支分別交于兩點A、B，在線段AB上取異于A、B的點Q，滿足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，證明：點Q總在某定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率為，知a²=3b²．由MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面積為1．知|MF₁||MF₂|=2．由此能導(dǎo)出雙曲線C的方程．
（2）解法1：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又設(shè)直線l的傾斜角為θ，分別過點P，Q，A，B作x軸的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，A₁，B₁，則 ，，，，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法2：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法3：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記PBAQxy．由過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支相交于兩點A，B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四點共線，知．由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法4：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記．由過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于兩點A、B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四點共線，設(shè)，則λ₁+λ₂=0．由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解答：解：（1）∵雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率為，
∴．即a²=3b²．                      ①
∵MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面積為1．
∴，即|MF₁||MF₂|=2．
∵||MF₁|-|MF₂||=2a，
∴|MF₁|²-2|MF₁||MF₂|+|MF₂|²=4a²．
∴|F₁F₂|²-4=4a²．
∴4（a²+b²）-4=4a²，∴b²=1．                     ②
將②代入①，得a²=3．
∴雙曲線C的方程為．
（2）解法1：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又設(shè)直線l的傾斜角為θ，分別過點P，Q，A，B作x軸的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，A₁，B₁，
則 ，，，，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．③
設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-3），④
將④代入=1中整理，得
（1-3k²）x²-6k（1-3k）x-3[（1-3k）²+1]=0．
依題意x₁，x₂是上述方程的兩個根，且1-3k²≠0，
∴⑤
將⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1，這就是點Q所在的直線方程．
∴點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法2：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴，即，
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法3：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記
PBAQxy．
∵過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支
相交于兩點A，B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四點共線，
∴．
即
∴③
由③消去λ，得[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法4：設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記．
∵過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于兩點A、B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四點共線，
設(shè)，則λ₁+λ₂=0．
即
∴
∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線C上，
∴，其中i=1，2．
∴λ₁，λ₂是方程的兩個根．
即λ₁，λ₂是方程（x²-3y²-3）λ²+6（x-y-1）λ+3=0的兩個根．
∵λ₁+λ₂=0，且x²-3y²-3≠0，
∴，即x-y-1=0．
∴點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
點評：本小題主要考查雙曲線、解方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力