Question

如圖，已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上兩定點P(-2，0)，Q(1，

3

2

)，直線l：y=-

1

2

x+m與橢圓相交于A，B兩點（異于P，Q兩點）
（1）求證：k_PA+k_QB為定值；
（2）當m∈（-1，2）時，求A、P、B、Q四點圍成的四邊形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）因為直線l與橢圓交于A，B兩點，所以設(shè)出A，B點的坐標，用A，B，P，Q的坐標表示k_PA與k_QB，因為A，B坐標為直線與橢圓方程聯(lián)立組成的方程組的解，求出x₁+x₂，x₁x₂，代入，k_PA+k_QB，化簡，即為定值．
（2）直線AB把四邊形APBQ分成兩個三角形，兩個三角形都可看做以線段AB為底邊，分別以P，Q到AB的距離為高的三角形，用弦長公式求出|AB|長，點到直線的距離公式求出P，Q到AB的距離，再代入三角形面積公式即可．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y&₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓的方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 2 x+m

⇒4x2-4mx+4m2-12=0⇒

x1x2=m2-3 x1+x2=m

∴kPA+kQB=

y1-0

x1+2

+

y2- 3 2

x2-1

=

y1(x2-1)+(y2- 3 2 )(x1+2)

(x1+2)(x2-1)

用y1=-

1

2

x1+m，y2=-

1

2

x2+m代入可得kPA+kQB=

- 1 2 x1x2+ 1 2 x1+mx2-m- 1 2 x1x2-x2+mx1+2m- 3 2 x1-3

(x1+2)(x2-1)

=

-x1x2+(m-1)(x2+x1)+m-3

(x1+2)(x2-1)

=0
（2）SAPBQ=

1

2

|AB|×|hP+hQ|=

5

4

12-3m2

|

|-2-2m|

5

+

|4-2m|

5

|
∵P，Q在直線l兩側(cè)
∴SAPBQ=

5

4

12-3m2

•

6

5

當m=0時∴SAPBQ=3

3

為其面積的最大值．

點評：本題主要考查了直線與橢圓相交，弦長公式，點到直線的距離公式，韋達定理等的綜合應用．