Question

（1）山水城市鎮(zhèn)江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5，且該游客是否游覽這三個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）某城市有n（n為奇數(shù)，n≥3）個(gè)景點(diǎn)，一位游客游覽每個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5，且該游客是否游覽這n個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3，ξ=1表示游覽一個(gè)景點(diǎn)或游覽兩個(gè)景點(diǎn)，ξ=3表示游覽景點(diǎn)數(shù)為0或游覽了三個(gè)景點(diǎn)，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），進(jìn)而得到分布列和期望；
（2）當(dāng)n=2k+1，k∈N^*時(shí)，游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為：0，1，2，…，2k+1，則ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1．根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×，分組后利用性質(zhì)=n（i=1，2，3，…，n）對(duì)上式即可進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后再換為n即可；
解答：解：（1）游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3，
P（ξ=1）=+=2=，
P（ξ=3）=+=2=，
ξ的分布列為：
 
 所以Eξ=1×+3×=．
（2）當(dāng)n=2k+1，k∈N^*時(shí)，游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為：0，1，2，…，2k+1，
ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1．
P（ξ=1）=+=2×；
P（ξ=3）=+=；
…
P（ξ=2k+1）=+=2×，
∴ξ的分布列為：

∴Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×
=2×{[（2k+1）+2k+（2k-1）+…+（2k+1-k）]-[（0×+1+2×+…+]}
=2×{[（2k+1）×+2k×+（2k-1）×+…+（k+1）]-[0×+1×+…+]}，
∵=n（i=1，2，3，…，n），
Eξ=2×{（2k+1）×[]-（2k+1）×[]}
=2××（2k+1）×[（）-（+）]
=2××（2k+1）×
=．
答：ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望，考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k的概率計(jì)算公式，考查組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，本題綜合性強(qiáng)，能力要求高，屬難題．