Question

15．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{3+x}{4-x}$；
（2）y=$\frac{5}{2{x}^{2}-4x+3}$；
（3）y=$\sqrt{1-2x}$-x；
（4）y=4-$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）原函數(shù)變成y=$-1+\frac{7}{4-x}$，從而有y≠-1；
（2）容易得到2x²-4x+3≥1，從而可得出$\frac{1}{2{x}^{2}-4x+3}$的范圍，從而求出原函數(shù)的值域；
（3）求導(dǎo)，可得到y(tǒng)′＜0，從而該函數(shù)在（$-∞，\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，這樣即可得出該函數(shù)的值域；
（4）能夠得到0≤3+2x-x²≤4，從而可得到$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$的范圍，從而得出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{3+x}{4-x}=\frac{-（4-x）+7}{4-x}=-1+\frac{7}{4-x}$；
$\frac{7}{4-x}≠0$；
∴y≠-1；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|y≠-1}；
（2）2x²-4x+3=2（x-1）²+1≥1；
∴$0＜\frac{1}{2{x}^{2}-4x+3}≤1$；
∴0＜y≤5；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋海?，5]；
（3）$y′=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}-1＜0$；
∴原函數(shù)在$（-∞，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞減，設(shè)y=f（x），則：
f（x）$≥f（\frac{1}{2}）=-\frac{1}{2}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋篬$-\frac{1}{2}$，+∞）；
（4）0≤3+2x-x²=-（x-1）²+4≤4；
∴$0≤\sqrt{3+2x-{x}^{2}}≤2$；
∴2≤y≤4；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋篬2，4]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)求函數(shù)值域的方法，配方求二次函數(shù)的值域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域．