Question

9．已知函數(shù)f（x）=xcosx，有下列4個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②存在常數(shù)T＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③對(duì)于任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M；
④函數(shù)f（x）的圖象上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得該函數(shù)在這些點(diǎn)處的切線與x軸平行；
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（　�。�

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 分析：①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來(lái)證明之；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對(duì)立面的形式說(shuō)明其不成立；
③找出一個(gè)常數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④根據(jù)切線的幾何意義，先求導(dǎo)，在找到特殊點(diǎn)，問(wèn)題得以解決．

解答 解：對(duì)于①，∵f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①錯(cuò)；
對(duì)于②∵當(dāng)x=2kπ時(shí)，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會(huì)是周期函數(shù)，故②錯(cuò)；
對(duì)于③取M=1，當(dāng)x₀=π時(shí)，|f（2π）|=2π≥1；故③正確；
對(duì)于④∵f′（x）=cosx-xsinx，
令f′（x）=cosx-xsinx=0，
即xtanx=1，
此時(shí)方程由無(wú)數(shù)個(gè)解，
∴使k=0的解有無(wú)數(shù)個(gè)，
故函數(shù)f（x）的圖象上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得該函數(shù)在這些點(diǎn)處的切線與x軸平行，故④正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對(duì)稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識(shí)性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意準(zhǔn)確運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)確解題．