Question

證明方程x³-3x+c=0在[0，1]上至多有一實(shí)根．

Answer 1

【答案】分析：若能證明方程相應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)函數(shù)則可證明相應(yīng)方程在[0，1]上至多有一實(shí)根，故解決問題的方案是先證其單調(diào)性，判斷方程相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)．
解答：證明：設(shè)f（x）=x³-3x+c，則f'（x）=3x²-3=3（x²-1）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0恒成立．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴f（x）的圖象與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)．
因此方程x³-3x+c=0在[0，1]上至多有一實(shí)根
點(diǎn)評(píng)：本題考查用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)探究方程在某一個(gè)區(qū)間里的根的個(gè)數(shù)問題，此轉(zhuǎn)化甚妙．