Question

7．設(shè)集合A滿足條件：若x∈A，則$\frac{1}{1-x}$∈A（x∈R且x≠1），求下列問題：
（1）若數(shù)列{2•（-1）ⁿ}（n∈N^*）中的項都在A中，求A中所含元素個數(shù)最少的集合A^*，
（2）在A^*中任取3個元素a、b、c，求使abc=-1的概率
（3）A中所含元素個數(shù)一定是3n（n∈N^*）個嗎？若是，請給出證明，若不是試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由2•（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n為正奇數(shù)}\\{2，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，利用x∈A，則$\frac{1}{1-x}$∈A（x∈R且x≠1），能求出A中所含元素個數(shù)最少的集合A^*．
（2）根據(jù)集合A^*中元素個數(shù)，求出從中任取3個元素a、b、c的基本事件總數(shù)n，再求出使abc=-1包含的基本事件個數(shù)m，由此利用等可能事件概率計算公式能求出使abc=-1的概率．
（3）A中所含元素個數(shù)一定是3n（n∈N^*）個．由x∈A，則$\frac{1}{1-x}$∈A，得到$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}$=$\frac{x-1}{x}$∈A，然后推導(dǎo)出x，$\frac{1}{1-x}$，$\frac{x-1}{x}$互不相等即可證明A中所含元素個數(shù)一定是3n（n∈N^*）個．

解答 解：（1）∵2•（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n為正奇數(shù)}\\{2，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，
x∈A，則$\frac{1}{1-x}$∈A（x∈R且x≠1），且數(shù)列{2•（-1）ⁿ}（n∈N^*）中的項都在A中，
∴-2∈A，且$\frac{1}{1-（-2）}$=$\frac{1}{3}∈A$，$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{3}{2}}$=2∈A，
2∈A，且$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=-2∈A，
∴A中所含元素個數(shù)最少的集合A^*={-2，-1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，2}．
（2）在集合A^*={-2，-1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，2}的6個元素中任取3個元素a、b、c，
基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{3}$=20，
使abc=-1包含的基本事件個數(shù)m=2，
∴使abc=-1的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$．
（3）A中所含元素個數(shù)一定是3n（n∈N^*）個．
證明：x∈A，則$\frac{1}{1-x}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}$=$\frac{x-1}{x}$∈A，
∵x∈R且x≠1，
∴當x=$\frac{1}{1-x}$時，x²-x+1=0，
△=1-4＜0，方程x²-x+1=0無解，
∴$x≠\frac{1}{1-x}$；
當x=$\frac{x-1}{x}$時，x²-x+1=0，
△=1-4＜0，方程x²-x+1=0無解，
∴$x≠\frac{x-1}{x}$；
當$\frac{1}{1-x}=\frac{x-1}{x}$時，x²-x+1=0，
△=1-4＜0，方程x²-x+1=0無解，
∴$\frac{1}{1-x}≠\frac{x-1}{x}$，
∴A中所含元素個數(shù)一定是3n（n∈N^*）個．

點評 本題考查集合中元素個數(shù)的判斷，考查元素與集合的關(guān)系，考查概率的求法，解題時要注意等可能事件概率計算公式的合理運用．