Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式an=n2+λn+2，若數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是

[-2，+∞）

．

Answer 1

分析：方法一：利用函數(shù)單調(diào)性的定義，借助函數(shù)恒成立問題解決即可；
方法二：利用二次函數(shù)的性質(zhì)，使其對稱軸n=-

λ

2

＜

1+2

2

=

3

2

即可．

解答：解解：方法一：
∵a_n=n²+λn+2，
∴a_n+1=（n+1）²+λ（n+1）+2，
∵數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=2n+λ+1＞0（n∈N^*）恒成立，
∴λ＞-2n-1（n∈N^*）恒成立，
令f（n）=-2n-1（n∈N^*），
則λ＞f（x）_max=-2×1-1=-3
∴λ＞-3．
∴實數(shù)λ的取值范圍是（-3，+∞）．
方法二：
∵a_n=n²+λn+2，
故a_n是n的二次函數(shù)，
又數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴對稱軸n=-

λ

2

＜

1+2

2

=

3

2

，如圖：
∴λ＞-3．
故答案為：（-3，+∞）．

點評：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查函數(shù)單調(diào)性的定義應用，考查作圖與識圖能力，屬于中檔題．