Question

已知△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(－1,－3)、(3,5),若點(diǎn)A在拋物線y=x²－4上移動,求△ABC的重心P的軌跡.

Answer 1

解:設(shè)△ABC的重心P的坐標(biāo)為(x,y),頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x₁,y₁),則y₁=x₁²－4.

由重心坐標(biāo)公式得

∴代入y₁=x₁²－4得3y－2=(3x－2)²－4,化簡整理得y=3x²－4x＋.

又直線BC的方程為=,即y=2x－1,

由

得或

而A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上,

∴P、B、C三點(diǎn)不共線,

即軌跡中應(yīng)去掉點(diǎn)(,)和(,－).

故△ABC的重心P的軌跡為開口向上的拋物線y=3x²－4x＋,但不包括點(diǎn)(,)和(,－).

點(diǎn)評:(1)動點(diǎn)P與A有關(guān)系,用P的坐標(biāo)表示A的坐標(biāo),并代入A的軌跡方程得到P的軌跡方程.這種求方程的方法稱作相關(guān)點(diǎn)法.

(2)求動點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程的要求不同,前者是求軌跡圖形.