Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，其焦點在圓x²+y²=1上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角θ，使．
（i）求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
（ii）求OA²+OB²．

Answer 1

解：（1）依題意，得  c=1．于是，a=，b=1

所以所求橢圓的方程為

（2）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則①，②．
又設(shè)M（x，y），因，故

因M在橢圓上，故．
整理得．
將①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得  ．
所以，為定值

（ii），故y₁²+y₂²=1．
又，故x₁²+x₂²=2．
所以，OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=3

分析：（1）由已知中橢圓的離心率為，其焦點在圓x²+y²=1上我們可以求出a，b，c的值，進而得到橢圓的方程；
（2）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），由．可得x，y的坐標表達式，進而根據(jù)M在橢圓上，可得為定值．
（ii）由（i）中結(jié)論，可得y₁²+y₂²=1，及x₁²+x₂²=2，進而得到OA²+OB²
點評：本題主要考查圓、橢圓及直線的基礎(chǔ)知識，考查運算能力及探究能力．第（2）問中，可以證明線段AB的中點恒在定橢圓x²+2y²=1上．后一問與前一問之間具有等價關(guān)系．